Introducción
La idea de la pendiente es algo que encuentras en la vida cotidiana. Piensa en un carrito bajando una rampa o subir las escaleras. La rampa y la escalera tienen una pendiente. Puedes describir la pendiente de la rampa o de las escaleras considerando el movimiento horizontal y vertical. En una conversación, usas las palabras “gradual” o “empinado” para describir una pendiente. En una pendiente gradual, casi todo el movimiento es horizontal. En una pendiente empinada, el movimiento vertical es mayor.
Definiendo la Pendiente
La definición matemática de la pendiente es muy similar a la de la vida diaria. En matemáticas, la pendiente se usa para describir la inclinación y dirección de rectas. Tan solo con mirar la gráfica de una recta, puedes saber algunas cosas sobre su pendiente, especialmente relativa a otras rectas graficadas en el mismo plano de coordenadas. Considera las gráficas de las tres rectas siguientes:
Primero, veamos las rectas A y B. Si imaginas que estas rectas son un cerro, dirías que la recta B es más empinada que la recta A. La recta B tiene una pendiente mayor que la recta A.
Ahora, observa que las rectas A y B se elevan conforme te mueves de izquierda a derecha. Decimos que estas rectas tienen una pendiente positiva. La recta C baja de izquierda a derecha por lo que tienen una pendiente negativa. Usando dos de los puntos en la recta, puedes calcular la pendiente de la recta encontrando la elevación y el avance. El cambio vertical entre dos puntos se llama elevación, y el cambio horizontal se llama avance. La pendiente es igual a la división de la elevación entre el avance: .
Calculando la Pendiente de una Recta en una Gráfica
Puedes determinar la pendiente de una recta a partir de su gráfica examinando la elevación y el avance. Una característica de una recta es que su pendiente es constante en toda su extensión. Entonces, puedes escoger cualesquiera 2 puntos sobre la gráfica de la recta para calcular la pendiente. Veamos un ejemplo.
Ejemplo
Problema
Usa la gráfica para encontrar la pendiente de la recta.
elevación = 2
Empieza en un punto en la recta, como (2, 1) y muévete verticalmente hasta alinearte con otro punto en la recta, como (6, 3). La elevación es de 2 unidades. Es positiva puesto que te moviste hacia arriba.
avance = 4
Luego, muévete horizontalmente al punto (6, 3). Cuenta el número de unidades. El avance es de 4 unidades. Es positivo puesto que te moviste hacia la derecha.
Pendiente =
Pendiente = .
Respuesta
La pendiente es .
Esta recta tendrá una pendiente de sin importar qué par de puntos hayas escogido de la recta. Intenta medir la pendiente partiendo del origen, (0, 0), al punto (6, 3). Encontrarás que la elevación = 3 y el avance = 6. La pendiente es . ¡Es la misma!
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo
Problema
Usa la gráfica para encontrar la pendiente de la recta.
Observa que las dos rectas tienen pendientes positivas, por lo que esperamos que las respuestas sean positivas.
elevación = 4
Recta azul
Empieza con la recta azul, yendo del punto (-2, 1) al punto (-1, 5). Esta recta tiene una elevación de 4 unidades hacia arriba, por lo que es positiva.
avance = 1
El avance es de 1 unidad a la derecha, por lo que es positivo.
Pendiente =
Sustituye los valores de la elevación y del avance y sustituye en la fórmula: Pendiente = .
elevación = 1
Recta roja
La recta roja, va del punto (-1, -2) al punto (3, -1) tiene una elevación de 1 unidad.
avance = 4
La recta roja tiene un avance de 4 unidades.
Pendiente =
Sustituye los valores de la elevación y del avance y sustituye en la fórmula: Pendiente = .
Respuesta
La pendiente de la recta azul es 4 y la pendiente de la recta roja es
