Os Números Reais.

Reunindo-se, em um mesmo conjunto, todos os números racionais e todos os números irracionais, formamos assim o CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS, representado por IR.

Os conjuntos numéricos IN, Z e Q, são subconjuntos de IR, pois todos os elementos de cada um deles também pertencem a IR.
Além desses, outros subconjuntos de IR são muito utilizados:

IR* = Conjunto dos números reais não nulos (números reais diferentes de zero)
IR+ = Conjunto dos números reais não negativos (números reais maiores ou iguais a zero)
IR- = Conjunto dos números reais não positivos (números reais menores ou iguais a zero)
IR+ *= Conjunto dos números reais positivos (números maiores que zero)
IR- *= Conjunto dos números reais não negativos (números menores que zero)

Diagrama dos conjuntos.

Outro modelo de diagrama.

AS OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS.

Já vimos que há certas limitações em relação às operações dos conjuntos numéricos, assim sendo temos:

No conjunto N, nem sempre é possível subtrair, obter divisões exatas ou extrair raiz quadrada e encontrar um número natural.
No conjunto Z, nem sempre é possível obter divisões exatas ou extrair raiz quadrada e encontrar um número inteiro.
No conjunto Q, nem sempre é possível extrair raiz quadrada exata e encontrar um número racional.

Porém, no conjunto dos números reais, efetuamos adição, subtração, multiplicação e divisão com números reais (exceto divisão por zero, lembram quando eu mandei dividir qualquer número por zero e a calculadora apresentou erro), bem como extraímos a raiz quadrada de qualquer número positivo e encontrarmos números reais.
Temos que lembrar que nos números reais também há restrições: a raiz quadrada de um número negativo, por exemplo, não representa um número real, pois não existe número real que elevado ao quadrado tenha resultado um número real negativo. -4 IR.
Vejamos algumas situações que envolvem números reais.

Calcular com aproximação até a segunda casa decimal, o produto 5. 3
3 1,73 então 5 . 3 5 . 1,73 5 . 38,65
O valor procurado é 8,65
Calcular 54 = 5 . 5 . 5 . 5=625=25
Logo, o valor procurado é 25
Com valores aproximados até a segunda casa decimal, determinar 14 + 2.
14 3,74 e 21,41
14 + 2 3,14 +1,41; então, 14 + 2 5,15
Então o valor procurado é 5,15.
Exercícios:

Observe os números a seguir:
-3; -23 ; -1,4; 0,3333...; 7; 51
Quais pertencem ao conjunto:
N?
Z?
Z, mas não pertencem a N?
Q, mas não pertencem a Z?
2. Qual desses números reais é o maior?

3. Analise cada uma das sequências a seguir e diga se são verdadeiras ou falsas:
100R+
100 R-
-16 R
-R-